Hàm số bậc nhất (Linear functions)

y = f(x) = ax + b

Trong đó:

a: hệ số góc (slope)

b: tung độ gốc (y-intercept)

Phương trình hàm số có dạng y = ax + b còn được gọi là dạng hệ số góc - đoạn chắn (slope-intercept form)

Giải thích ý nghĩa của các hệ số (coefficient)

• Về tung độ gốc b (y-intercept)

Khi ta thay x = 0 vào phương trình của hàm số ta có:

y = f(0) = a ⨉ 0 + b = b

⇒ y = b chính là giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục Oy ⇒ b được gọi là tung độ gốc

• Về hệ số góc a:

Ví dụ: Với hàm số y = f(x) = 2x + 3, ta có bảng giá trị của hàm số như sau:

Khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng 2 đơn vị. Đây cũng chính là giá trị của hệ số góc a:

• x tăng từ 0 → 1 thì y tăng từ 3 → 5
• x tăng từ 1 → 2 thì y tăng từ 5 → 7
• x tăng từ 2 → 3 thì y tăng từ 7 → 9
• x tăng từ 3 → 4 thì y tăng từ 9 → 11

Tổng quát: Ý nghĩa của hệ số góc a:

Hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b

⇒ f(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a + b = (ax + b) + a = f(x) + a

Khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng a đơn vị ⇒ Khi x tăng n đơn vị thì y tăng (a ⨉ n) đơn vị

⇒ Đây chính là dấu hiệu để xác định hàm số bậc nhất

Công thức để tìm ra hệ số góc a:

Trong đó:

(x₁,y₁) và (x₂,y₂): hai điểm thỏa mãn phương trình của hàm số

= y₂ - y₁ = sự thay đổi của y (change in y)

= x₂ - x₁ = sự thay đổi của x (change in x)

• a > 0 ⇒ f(x) là hàm đồng biến (increasing) ⇒ đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải
• a < 0 ⇒ f(x) là hàm nghịch biến (decreasing) ⇒ đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải

Đề bài: Tom is saving money to buy a new bicycle. He currently has $50 saved up and is saving $10 per week from his allowance. How much money will Tom have saved after 8 weeks?

Gọi số tuần trôi qua là x và số tiền mà Tom tiết kiệm được là y

• Cứ sau mỗi tuần Tom tiết kiệm được $10

⇒ Khi x tăng 1 tuần thì y tăng $10 ⇒ Đây chính là dấu hiệu của hàm số bậc nhất

⇒ Hệ số góc a = 10

• Ngay từ đầu (chưa có tuần nào trôi qua) Tom đã tiết kiệm được $50

⇒ Khi x = 0 thì y = f(0) = 50 ⇒ Tung độ gốc b = 50

Tổng hợp hai dữ kiện trên ⇒ Phương trình hàm số bậc nhất: y = 10x + 50

⇒ Sau 8 tuần số tiền Tom tiết kiệm được là f(8) = 10 ⨉ 8 + 50 = $130

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng.

Để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, trước hết các em cần xác định 2 điểm thoả mãn phương trình của hàm số, sau đó nối 2 điểm đó lại với nhau.

Ví dụ: y = f(x) = x + 2

Ta nhận thấy tung độ gốc b = 2 ⇒ Đồ thị hàm số đi qua điểm (0,2)

Để xác định điểm thứ hai, ta có thể thay x = -1 vào phương trình ⇒ f(-1) = -1 + 2 = 1

⇒ Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1,1)

Ta có y = a₁x + b₁ và y = a₂x + b₂ là hai hàm số bậc nhất có đồ thị lần lượt là hai đường thẳng d₁ và d₂

Việc xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng này trong hệ trục toạ độ chính là xác định ra số lượng giao điểm của hai đường thẳng này.

Khi ta cho 2 giá trị y bằng nhau ta sẽ có được phương trình (1): a₁x + b₁ = a₂x + b₂

Công thức

d₁ // d₂ (parallel) ⇒ a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂

Hai đường thẳng song song với nhau ⇒ Không có giao điểm ⇒ Phương trình (1) vô nghiệm (no solution)

d₁ cắt d₂ (intercept) ⇒ a₁ ≠ a₂

Hai đường thẳng cắt nhau ⇒ Có 1 giao điểm duy nhất ⇒ Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất (one solution)

Trường hợp đặc biệt: d₁ 丄 d₂ ⇒ a₁a₂ = -1

d₁ ☰ d₂ ⇒ a₁ = a₂ và b₁ = b₂

Hai đường thẳng trùng nhau ⇒ Có vô số giao điểm ⇒ Phương trình (1) có vô số nghiệm (infinitely many solutions)

Cách 1: 3 bước vẽ đồ thị bất phương trình bậc nhất

Cách 2: sử dụng Desmos

• Dấu hiệu của bất phương trình bậc nhất trong các bài toán đố

Sarah has a budget of $500 to spend on clothes. She wants to buy some jeans that cost $50 each and some t-shirts that cost $20 each. She wants to buy at least 5 items in total.

Gọi số quần bò Sarah mua là j và số áo phông Sarah mua là t

• Tổng số tiền Sarah có là $500 ⇒ 50j + 20t 500
• Sarah muốn mua ít nhất 5 món đồ ⇒ j + t 5