Luỹ thừa và hàm số mũ

• aⁿ = a ⨉ a ⨉ a ⨉ … (n thừa số a)
• a¹ = a
• a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• a^m ⨉ aⁿ = a^m+n
• 
• 
• (a^m)ⁿ = a^m⨉n
• (a ⨉ b)^m = a^m ⨉ b^m
• 
• 
• 

1. Công thức tổng quát: y = a ⨉ b^x (a,b > 0; b khác 1)

Trong đó:

a: tung độ gốc (y-intercept)

b: nhân tử (factor)

Giải thích ý nghĩa của các hệ số

• Về tung độ gốc a (y-intercept)

Khi ta thay x = 0 vào phương trình của hàm số ta có

y = f(0) = a ⨉ b⁰ = a

x = 0 chính là phương trình của trục Oy ⇒ y = a chính là giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục Oy ⇒ b được gọi là tung độ gốc

• Về nhân tử b:

Ví dụ: Với hàm số y = f(x) = 3 ⨉ 2^x, ta có bảng giá trị của hàm số như sau:

khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng gấp 2 lần (increases by a factor of 2). Đây cũng chính là giá trị của nhân tử b:

• x tăng từ 0 → 1 thì y tăng từ 3 → 6
• x tăng từ 1 → 2 thì y tăng từ 6 → 12
• x tăng từ 2 → 3 thì y tăng từ 12 → 24
• x tăng từ 3 → 4 thì y tăng từ 24 → 48

Tổng quát: Ý nghĩa của nhân tử b:

Xét hàm số mũ y = f(x) = a ⨉ b^x

⇒ f(x + 1) = a ⨉ b^x+1 = a ⨉ b^x ⨉ b = f(x) ⨉ b

Khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng gấp b lần ⇒ Khi x tăng n đơn vị thì y tăng gấp bⁿ lần

⇒ Đây chính là dấu hiệu để xác định hàm số mũ

• b > 1 ⇒ f(x) là hàm đồng biến (increasing) ⇒ đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải với độ dốc tăng dần
• 0 < b < 1 ⇒ f(x) là hàm nghịch biến (decreasing) ⇒ đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải với độ dốc giảm dần

Công thức để tìm ra nhân tử b:

1. Ứng dụng lý thuyết trong việc giải bài toán đố

Bài 1: Tom is saving money to buy a new bicycle. He currently has $50 saved up, and his savings increases by 1% each week. How much money will Tom have saved after 8 weeks?

Gọi số tuần trôi qua là x và số tiền mà Tom tiết kiệm được là y

• Cứ sau mỗi tuần số tiền tiết kiệm của Tom tăng 1%

⇒ Khi x tăng 1 tuần thì y tăng gấp: 100% + 1% = 1.01 lần ⇒ Đây chính là dấu hiệu của hàm số mũ

⇒ Nhân tử a = 1.1

• Ngay từ đầu (chưa có tuần nào trôi qua) Tom đã tiết kiệm được $50

⇒ Khi x = 0 thì y = f(0) = 50 ⇒ Tung độ gốc b = 50

Tổng hợp hai dữ kiện trên ⇒ Phương trình hàm số mũ: y = f(x) = 50 ⨉ 1.01^x

⇒ Sau 8 tuần số tiền Tom tiết kiệm được là f(8) = 50 ⨉ 1.01⁸ ≈ $54.14

Bài 2: Randy opened a savings account by making a deposit of $750. The savings account earns 5 percent interest, compounded quarterly. Which of the following expressions should Randy type into his calculator if he wants to know how much money he will have in 10 years, assuming he makes no other deposits?

Công thức tính lãi kép:

Trong đó:

A: số tiền tại thời điểm t

P: số tiền ban đầu

r: lãi suất tính theo năm

n: số lần ghép lãi trong một năm

t: số năm

P = $750, r = 5%, n = 4 (vì số tiền này được ghép lãi theo quý - compounded quarterly - 1 năm = 4 quý), t = 10 ⇒

1. Đồ thị của hàm số mũ